考點:進行簡單的合情推理
專題:推理和證明
分析:①由g
n(-x)+g
n(x)+2=
++…≠0,可得g
n(x)關(guān)于點(0,-1)不成中心對稱.
②由于x∈(0,+∞),可得
(x)=1+
+
+…+
>0,即可得出g
n(x)在(0,+∞)單調(diào)性.
③當n=1,g
1(x)+1=x,假設(shè)存在c∈[
,1]使得g
1(c)=c-1=0,解得c=1.當n=2,g
2(x)+1=x+
,假設(shè)存在c∈[
,1]使得g
2(c)=x+
-1=0,解得c=-2
±2≠1.即可判斷出.
解答:
解:①∵g
n(-x)+g
n(x)+2=
++…≠0,∴g
n(x)關(guān)于點(0,-1)不成中心對稱.
②∵x∈(0,+∞),∴
(x)=1+
+
+…+
>0,∴g
n(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
③當n=1,g
1(x)+1=x,假設(shè)存在c∈[
,1]使得g
1(c)+1=c,g
1(c)=c-1=0,解得c=1.
當n=2,g
2(x)+1=x+
,假設(shè)存在c∈[
,1]使得g
2(c)=x+
-1=0,解得c=-2
±2≠1.
因此當n取遍N
*中所有數(shù)時不可能存在c∈[
,1]使得g
n(c)=0.
綜上可知:只有②正確.
故選:D.
點評:本題考查了函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、函數(shù)的零點,考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了推理能力和計算能力,屬于難題.