Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在點處的切線方程為，求的值；

（2）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線下方，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】試題分析：（1）利用函數(shù)在處切線的斜率為可求得.將切點坐標(biāo)代入切線方程可求得.（2）構(gòu)造函數(shù)，則問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上恒成立.對求導(dǎo)后，對分成三類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，由此求得的取值范圍.

試題解析：（1）由題知：，

又，即，

∴，

∴，

∴，

所以切點為，代入切線方程得：，

∴.

（2）令，則的定義域為，

在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線下方，

等價于在區(qū)間上恒成立，

∵，

令，得或，

①若，則，

∴在上有，在上有，

∴在上遞減，在上遞增，

∴，

此時與在區(qū)間上恒成立相背，

∴不符合題意.

②若時，則，

∵在上有，∴在區(qū)間遞增，

∴，此時與在區(qū)間上恒成立相背，

∴不符合題意.

③若，則，

∵在區(qū)間上有，則在區(qū)間遞減，

∴在恒成立，要使在恒成立，

只需，∴，

∴.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在直線下方.