Question

已知矩陣A=（  ），向量α=（）．
（1）求A的特征值λ₁，λ₂和對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α₁，α₂；
（2）計(jì)算A⁵α的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項(xiàng)式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應(yīng)的特征向量．
（2）根據(jù)矩陣A的特征多項(xiàng)式求出矩陣A的所有特征值為2和3，然后根據(jù)特征向量線性表示出向量β，利用矩陣的乘法法則求出β=3α₁+α₂從而A⁵β中求出值即可．
解答：解：（1）矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）==λ²-5λ+6=0，
得λ₁=2，λ₂=3，
當(dāng)λ₁=2時(shí)，α₁=，當(dāng)λ₂=3時(shí)，得α₂=．
（2）由β=mα₁+nα₂=m +n =，
得：解得 ，則β=3α₁+α₂
∴A⁵β=A⁵（3α₁+α₂）=3（A⁵α₁）+A⁵α₂=3（ α₁）+α₂=3×2⁵ +3⁵ =．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)利用二階矩陣的乘法法則進(jìn)行運(yùn)算，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量．