Question

設(shè)向量
（1）若與垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求證：∥．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，再由與垂直等價(jià)于與的數(shù)量積等于0可求出α+β的正余弦之間的關(guān)系，最后可求正切值．
（2）先根據(jù)線性運(yùn)算求出，然后根據(jù)向量的求模運(yùn)算得到||的關(guān)系，最后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可確定答案．
（3）將tanαtanβ=16化成弦的關(guān)系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要條件，從而得證．
解答：解：（1）∵=（sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ），與垂直，
∴4cosα（sinβ-2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ-sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），∴tan（α+β）=2．
（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ），
∴||=
=，
∴當(dāng)sin2β=-1時(shí)，||取最大值，且最大值為．
（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即=（4cosα，sinα）與=（sinβ，4cosβ）共線，
∴∥．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的線性運(yùn)算、求模運(yùn)算、向量垂直和數(shù)量積之間的關(guān)系．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)，要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．