Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過橢圓右焦點且斜率為1的直線與圓（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設過橢圓右焦點F且與x軸不垂直的直線l與橢圓交于點A，B，與y軸交于點C，且AB中點與FC的中點重合，求△AOB（O為坐標原點）的面積．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c，可得橢圓的方程：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．過橢圓右焦點且斜率為1的直線方程為：y=x-c，由于此直線與圓（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切，可得$\frac{|2-2-c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c，即可得出橢圓的方程．
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1），C（0，-k），設FC的中點為M（x₀，y₀），可得M$（\frac{1}{2}，-\frac{k}{2}）$．與橢圓方程聯(lián)立化為（2k²-1）x²-4k²x+2k²-2=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中點坐標公式與根與系數(shù)的關系可得：k²=$\frac{1}{2}$．利用|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$．點O到直線l的距離d=$\frac{|-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|d$．

解答 解：（1）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得a=$\sqrt{2}$c，
∴b²=a²-c²=c²，
∴橢圓的方程可化為：$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$．
過橢圓右焦點且斜率為1的直線方程為：y=x-c，
∵此直線與圓（x-2）²+（y-2）²=$\frac{1}{2}$相切，
∴$\frac{|2-2-c|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）設直線l的方程為：y=k（x-1），C（0，-k），
設FC的中點為M（x₀，y₀），可得M$（\frac{1}{2}，-\frac{k}{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{x}^{2}-2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，化為（2k²-1）x²-4k²x+2k²-2=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}-1}$．
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{2{k}^{2}}{2{k}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$，解得k²=$\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-$\frac{1}{2}$．
則|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）1-4×（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
點O到直線l的距離d=$\frac{|-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、直線與橢圓方程相交轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．