Question

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點稱為函數(shù)的駐點，若點(1,1)為函數(shù)f(x)的駐點，則稱f(x)具有“1—1駐點性”.

（1）設(shè)函數(shù)f(x)=-x+2+alnx，其中a≠0。

①求證：函數(shù)f(x)不具有“1—1駐點性”；②求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

（2）已知函數(shù)g(x)=bx³+3x²+cx+2具有“1—1駐點性”，給定x₁，x₂ÎR，x₁＜x₂，設(shè)λ為實數(shù)，且λ≠-1，α=，β=，若|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|，求λ的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）①=-1++ ∵=-1+1+a≠0，

∴函數(shù)f(x)不具有“1—1駐點性”.…………………………………………2分

②由==

(ⅰ)當(dāng)a+＜0,即a＜-時，＜0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù)；

(ⅱ)當(dāng)a+=0,即a=-時，顯然≤0.∴f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù)；………………………………4分

(ⅲ)當(dāng)a+＞0，即a＞-時，由=0得=±…………………………………………6分

當(dāng)-＜a＜0時，-＞0∴xÎ(0, a+-)時，＜0;

xÎ( a+-, a++)時，＞0; xÎ( a++, +∞)時，＜0;

當(dāng)a＞0時，-＜0 ∴xÎ(0, a++)時，＞0; xÎ( a++,+∞)時，＜0;

綜上所述：當(dāng)a≤-時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞)；   

當(dāng)-＜a＜0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, a+-)和( a++,+∞)，

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( a+-, a++)；

當(dāng)a＞0時,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, a++)，

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( a++, +∞)；…………………………………………9分

（Ⅱ）由題設(shè)得：=3bx²+6x+c,∵g(x)具有“1—1駐點性”∴且

即解得∴=-3x²+6x-3=-3(x-1)²≤0，故g(x)在定義域R上單調(diào)遞減.

①當(dāng)λ≥0時，有α=≥=x₁，α=＜=x₂，即αÎ[x₁,x₂),同理βÎ(x₁,x₂] ………11分

由g(x)的單調(diào)性可知：g(α)，g(β)Î[ g(x₂),g(x₁)]∴|g(α)-g(β)|≤|g(x₁)-g(x₂)|與題設(shè)|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|不符.

②當(dāng)-1＜λ＜0時，α=＜=x₁，β=＞=x₂……………………………………13分

即α＜x₁＜x₂＜β∴g(β)＜g(x₂)＜g(x₁)＜g(α)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|，符合題設(shè)

③當(dāng)λ＜-1時，α=＞=x₂, β=＜=x₁，即β＜x₁＜x₂＜α

∴g(α)＜g(x₂)＜g(x₁)＜g(β)∴|g(α)-g(β)|＞|g(x₁)-g(x₂)|也符合題設(shè)………     ……………………15分

由此，綜合①②③得所求的λ的取值范圍是λ＜0且λ≠-1