Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1＝1， ，其中n∈N*．

（1）設(shè)，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式．

（2）設(shè)，數(shù)列{cncn+2}的前n項(xiàng)和為Tn，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)于n∈N*，恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）3

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合遞推關(guān)系可證得bn+1-bn2，且b1＝2，即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

(2)結(jié)合通項(xiàng)公式裂項(xiàng)有求和有．據(jù)此結(jié)合單調(diào)性討論可得正整數(shù)m的最小值為3．

試題解析：

（1）證明：bn+1-bn ．

又由a1＝1，得b1＝2，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，所以bn＝2+(n-1)×2＝2n，由，得．

（2）解： ， 所以．

依題意，要使對(duì)于n∈N*恒成立，只需，解得m≥3或m≤-4．又m＞0，所以m≥3，所以正整數(shù)m的最小值為3．