Question

4．已知橢圓C₁，拋物線C₂焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心和C₂頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于表中，則C₁的左焦點(diǎn)到C₂的準(zhǔn)線之間的距離為（　�。�

x	3	-2	4	$\sqrt{2}$
y	$-2\sqrt{3}$	0	-4	$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

• A． $\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{3}-1$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由表可知：拋物線C₂焦點(diǎn)在x軸的正半軸，設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p＞0），則有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），將（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，即可求得拋物線方程，求得準(zhǔn)線方程，設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），把點(diǎn)（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可求得橢圓方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得C₁的左焦點(diǎn)到C₂的準(zhǔn)線之間的距離．

解答 解：由表可知：拋物線C₂焦點(diǎn)在x軸的正半軸，設(shè)拋物線C₂：y²=2px（p＞0），則有$\frac{{y}^{2}}{x}$=2p（x≠0），
據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知（3，-2$\sqrt{3}$），（4，-4）在C₂上，代入求得2p=4，
∴拋物線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．則焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為：x=-1，
設(shè)橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），把點(diǎn)（-2，0），（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入得，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{0}{^{2}}=1}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=1}\end{array}\right.$，
∴C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
由c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{3}$，
左焦點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0），
C₁的左焦點(diǎn)到C₂的準(zhǔn)線之間的距離$\sqrt{3}$-1，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查待定系數(shù)法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．