Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值；

（2）求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方．

Answer 1

【答案】（1）由已知，

當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大、最小值分別為，，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

（2）證明：設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

又，所以在區(qū)間上，，即，

所以在區(qū)間上函數(shù)的圖象在函數(shù)圖象的下方．

【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求解函數(shù)的最值；

（2）由題意，設(shè)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即作出證明．

解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，

當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′(x)>0，

所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.

f(x)min＝f(1)＝.

(2)設(shè)F(x)＝x2＋ln x－x3，

則F′(x)＝x＋－2x2＝，

當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，F′(x)<0，

且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)時(shí)F(x)<0，

所以x2＋ln x<x3，得證．