設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且(t-1)Sn=2tan-t-1(其中t為常數(shù),t>0,且t≠1).
(I)求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列;
(II)若數(shù)列{an}的公比q=f(t),數(shù)列{bn}滿足b1=a1,bn+1=
1
2
f(bn),求數(shù)列{
1
bn
}的通項公式;
(III)設(shè)t=
1
3
,對(II)中的數(shù)列{an},在數(shù)列{an}的任意相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個
(-1)k
bk
(k∈N*)后,得到一個新的數(shù)列:a1,
(-1)1
b1
,a2,
(-1)2
b2
(-1)2
b2
,a3
(-1)3
b3
,
(-1)3
b3
(-1)3
b3
,a4…,記此數(shù)列為{cn}.求數(shù)列{cn}的前50項之和.
(Ⅰ)證明:由題設(shè)知(t-1)S1=2ta1-t-1,解得a1=1,
由(t-1)Sn=2tan-t-1,得(t-1)Sn+1=2tan+1-t-1,
兩式相減得(t-1)an+1=2tan+1-2tan,
an+1
an
=
2t
t+1
(常數(shù)).
∴數(shù)列{an}是以1為首項,
2t
t+1
為公比的等比數(shù)列.…(4分)
(Ⅱ)∵q=f (t)=
2t
t+1
,b1=a1=1,bn+1=
1
2
f (bn)=
bn
bn+1

1
bn+1
=
bn+1
bn
=
1
bn
+1,
∴數(shù)列{
1
bn
}是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,
1
bn
=n
.…(8分)
(III)當(dāng)t=
1
3
時,由(I)知an=(
1
2
)n-1
,于是數(shù)列{cn}為:1,-1,
1
2
,2,2,(
1
2
)2
,-3,-3,-3,(
1
2
)
3
,…
設(shè)數(shù)列{an}的第k項是數(shù)列{cn}的第mk項,即ak=cmk,
當(dāng)k≥2時,mk=k+[1+2+3+…+(k-1)]=
k(k+1)
2
,
∴m9=
9×10
2
-45.
設(shè)Sn表示數(shù)列{cn}的前n項和,則S45=[1+
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
8
]+[-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8].
∵1+
1
2
+(
1
2
)
2
+…+(
1
2
)
8
=
1-(
1
2
)
9
1-
1
2
=2-
1
28

-1+(-1)2×2×2+(-1)3×3×3+…+(-1)8×8×8=-1+22-32+42-52+62-72+82
=(2+1)(2-1)+(4+3)(4-3)+(6+5)(6-5)+(8+7)(8-7)=3+7+11+15=36.
∴S45=2-
1
28
+36=38-
1
28

∴S50=S45+(c46+c47+c48+c49+c50)=38-
1
28
+5×(-1)9×9=-7
1
256

即數(shù)列{cn}的前50項之和為-7
1
256
.…(12分)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項的和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項的和Tn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn,若Dn內(nèi)的整點(整點即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)個數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案