Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）定義在R上，且滿足f（x）≠0，對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求證：對(duì)x∈R，都有f（x）＞0；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）設(shè)集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1，只需說(shuō)明當(dāng)x=0時(shí)f（x）＞0，以及當(dāng)x＜0時(shí)f（x）＞0即可；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后利用對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n）則

f(x1)

f(x2)

=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1，從而確定f（x₁）與f（x₂）的大小，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行判定即可；
（3）先化簡(jiǎn)集合A即A={（x，y）|y=x²-6x+1}，集合A表示拋物線上的點(diǎn)，結(jié)合B表示直線上的點(diǎn)，根據(jù)A∩B=∅可得方程x²-6x+1-a=0無(wú)實(shí)數(shù)根，利用判別式可得所求．

解答：（1）證明：令m=n=0得f（0）=f²（0）
∴f（0）=0或f（0）=1
又∵f（x）≠0
∴f（0）=1
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1
∴f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1
∴f(x)=

1

f(-x)

＞1
∴x＜0時(shí)f（x）＞1
∴對(duì)x∈R，都有f（x）＞0
（2）證明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
則x₁-x₂＜0，
∴f（x₁-x₂）＞1
則

f(x1)

f(x2)

=f(x1)•f(-x2)=f(x1-x2)＞1
又∵f（x₁）＞0，f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上是減函數(shù)
（3）解：A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}

={(x，y)|f(-x2+6x-1+y)=f(0)} ={(x，y)|-x2+6x-1+y=0} ={(x，y)|y=x2-6x+1}

∵A∩B=∅
∴方程x²-6x+1-a=0無(wú)實(shí)數(shù)根
∴△=36-4（1-a）=32+4a＜0
∴a＜-8

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)的單調(diào)性的判定和集合的運(yùn)算，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．