Question

13．過點M（-1，1）作斜率為$\frac{1}{2}$的直線與橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 利用點差法，結合M是線段AB的中點，斜率為$\frac{1}{2}$，即可求出橢圓C的離心率．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1  ①，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1  ②，
∵M是線段AB的中點，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=1，
∵直線AB的方程是y=$\frac{1}{2}$（x+1）+1，
∴y₁-y₂=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂），
①②兩式相減可得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=0，
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{a}^{2}}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴-2$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{a}^{2}}$+2$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{^{2}}$=0，
∴-2$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{{a}^{2}}$+2$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}-{x}_{2}）}{^{2}}$=0，
∴$-\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=0$，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點評 本題考查橢圓的離心率，考查學生的計算能力，正確運用點差法是關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．