Question

已知不等式：

3-x

x2+1

＞1的解集為A．
（1）求解集A；
（2）若a∈R，解關(guān)于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x；
（3）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使關(guān)于x的不等式：ax²+1＜（a+1）x的解集C滿足C∩A=∅．

Answer 1

分析：（1）去分母化簡(jiǎn)得x²+x-2＜0，解一元二次不等式得-2＜x＜1，從而可求集合A．
（2）ax²+1＜（a+1）x等價(jià)于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0，由于不等式的解集與方程的解及開(kāi)口方向有關(guān)，故需要進(jìn)行分類討論；
（3）若C∩A=∅，則對(duì)a分類討論，得出集合C，利用C∩A=∅，可求．

解答：解：（1）去分母化簡(jiǎn)得x²+x-2＜0，∴-2＜x＜1，∴A=（-2，1）
（2）ax²+1＜（a+1）x等價(jià)于ax²-（a+1）x+1＜0，即（ax-1）（x-1）＜0
1）當(dāng)a＞0時(shí)，ax²-（a+1）x+1＜0等價(jià)于a(x-

1

a

)(x-1)＜0，即(x-

1

a

)(x-1)＜0，
所以：①當(dāng)a＞1時(shí)，

1

a

＜x＜1；  ②當(dāng)a=1時(shí)，x∈∅；  ③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜x＜

1

a

；
2）當(dāng)a=0時(shí)，x＞1
3）當(dāng)a＜0時(shí)，x＞1或x＜

1

a

（3）若C∩A=∅，則：
①當(dāng)a＞1時(shí)，C=(

1

a

，1)，不可能成立；
②當(dāng)a=1時(shí)，x∈∅，成立；
③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜x＜

1

a

，成立；
2）當(dāng)a=0時(shí)，x＞1，成立；
3）當(dāng)a＜0時(shí)，C=(-∞，

1

a

)∪(1，+∞)，須有

1

a

≤-2，則-

1

2

≤a＜0．
綜上：a∈[-

1

2

，1]

點(diǎn)評(píng)：本題以集合為載體，考查不等式，考查集合的運(yùn)算，注意分類討論是關(guān)鍵．