Question

7．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且AB=$\sqrt{2}$，∠ABC=60°，點A在平面PBC上的射影為PB的中點O，PB⊥AC．
（1）求證：PC=PD；
（2）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知可得△ABP、△BCP為等腰三角形，設BP=2x，求解直角三角形可得x值，得到AB⊥AP，取CD中點G，證明PG⊥CD可得答案；
（2）由（1）可知，四面體A-PCD為邊長是$\sqrt{2}$的正四面體，則點A到平面PCD的距離可求．

解答 （1）證明：如圖，
∵點A在平面PBC上的射影為PB的中點O，
∴BO=OP，且AO⊥PB，則AB=AP，
由AO⊥BP，BP⊥AC，可得BP⊥平面AOC，則BP⊥OC，得BC=PC，
設BP=2x，則AO=OC=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{x}^{2}}$，再由AO²+OC²=AC²，得$2（2-{x}^{2}）=（\sqrt{2}）^{2}$，解得：x=1，
∴BP=2，則AB²+AP²=BP²，∴AB⊥AP，
取CD中點G，連接AG，則AG⊥CD，又AB∥CD，AB⊥AP，
∴AP⊥CD，則CD⊥平面APG，得CD⊥PG，
∵G為CD中點，∴PC=PD；
（2）解：由（1）可知，四面體A-PCD為邊長是$\sqrt{2}$的正四面體，
則PG=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴點A到平面PCD的距離為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查空間中的點、線、面的距離的計算，考查了空間想象能力和思維能力，考查數學轉化思想方法，是中檔題．