Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx．（0＜a＜3）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，若f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）=

x2

2

-2ax+3lnx的單調(diào)區(qū)間．
（2）分離參數(shù)，可得

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

≥a，構(gòu)造函數(shù)g（x）=

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

，證明g（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a=2時(shí)，f′（x）=

(x-3)(x-1)

x

，
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
當(dāng)x∈（1，3]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．
當(dāng)x∈（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
∴函數(shù)f（x）單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，（3，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，3]；
（2）∵f（x）≥-5xlnx+3lnx-

3

2

，
∴

x2

2

-2ax+5xlnx+

3

2

≥0，
∵x∈[1，+∞），
∴

x2

2

+5xlnx+

3

2

≥2ax，
∴

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

≥a，
令g（x）=

x

4

+

5lnx

2

+

3

4x

，則g′（x）=

x2+10x-3

4x2

，
∵x∈[1，+∞），
∴x²+10x-3＞0，
∴x∈[1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）≥g（1）

1

4

+

3

4

=1≥a，
∴0＜a≤1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．