在自然條件下,某草原上野兔第n年年初的數量記為xn,該年的增長量yn和 xn與的乘積成正比,比例系數為,其中m是與n無關的常數,且x1<m,
(1)證明:;
(2)用 xn表示xn+1;并證明草原上的野兔總數量恒小于m.
(1)詳見解析;(2),證明用數學歸納法,過程詳見解析.
解析試題分析:(1)由已知可得yn是xn的一個二次函數,利用配方法,注意到就可證明;(2)由已知有該年的增長量,所以第n+1年年初的的數量xn+1=xn+yn,代入即可用 xn表示xn+1;證明草原上的野兔總數量恒小于m,即證對一切非零自然數n,都有xn<m,可考慮用數學歸納法來證明:當n=1時顯然成立;再假設當時,命題成立,則對n=k+1時,由于是xk的一個二次函數,結合二次函數的性質,可證成立,從而有對一切正整數n,,即是草原上的野兔總數量恒小于m.
試題解析:(1)由題意知 ,配方得: ∵∴當且僅當時,取得最大值,即 (5分)
(2) (8分)
用數列歸納法證明:
當n=1時,由題意知,故命題成立
假設當時,命題成立
是xk的一個二次函數,有對稱軸,開口向下,由,則,于是在上均有=m
取,即知,∴當時,命題成立,綜上知,對一切正整數n,這就是說該草原上的野兔數量不可能無限增長 (13分)
考點:1函數的概念;2.二次函數;3.數學歸納法.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知二次函數f(x)=ax2+bx+c(a>0).
(Ⅰ)(i)若b=﹣2,且f(x)在(1,+∞)上為單調遞增函數,求實數a的取值范圍;
(ii)若b=﹣1,c=1,當x∈[0,1]時,|f(x)|的最大值為1,求實數a的取值范圍;
(Ⅱ)若f(0)≥1,f(1)≥1,f(x)=0的有兩個小于1的不等正根,求a的最小正整數值.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數,函數.
⑴當時,函數的圖象與函數的圖象有公共點,求實數的最大值;
⑵當時,試判斷函數的圖象與函數的圖象的公共點的個數;
⑶函數的圖象能否恒在函數的上方?若能,求出的取值范圍;若不能,請說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某廠生產A產品的年固定成本為250萬元,若A產品的年產量為萬件,則需另投入成本(萬元)。已知A產品年產量不超過80萬件時,;A產品年產量大于80萬件時,。因設備限制,A產品年產量不超過200萬件,F(xiàn)已知A產品的售價為50元/件,且年內生產的A產品能全部銷售完。設該廠生產A產品的年利潤為L(萬元)。
(1)寫出L關于的函數解析式;
(2)當年產量為多少時,該廠生產A產品所獲的利潤最大?
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某小區(qū)想利用一矩形空地建市民健身廣場,設計時決定保留空地邊上的一水塘(如圖中陰影部分),水塘可近似看作一個等腰直角三角形,其中,,且中,,經測量得到.為保證安全同時考慮美觀,健身廣場周圍準備加設一個保護欄.設計時經過點作一直線交于,從而得到五邊形的市民健身廣場,設.
(1)將五邊形的面積表示為的函數;
(2)當為何值時,市民健身廣場的面積最大?并求出最大面積.
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