Question

已知橢圓C方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，若橢圓C上的點P（1，

3

2

）到F₁，F(xiàn)₂的距離和等于4．
（Ⅰ）寫出橢圓C的方程和焦點坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點M是橢圓C的動點，MF₁交橢圓與點N，求線段MN中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）直線l過定點M（0，2），且與橢圓C交于不同的兩點A，B，若∠A0B為銳角（O為坐標(biāo)原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）把點A的坐標(biāo)代入橢圓方程，再由橢圓的定義知2a=4，從而求出橢圓的方程，由橢圓的方程求出焦點坐標(biāo)．
（Ⅱ）設(shè)線段MN中點T（x，y），利用點差法，結(jié)合直線MN的方程，化簡即得線段MN中點T的軌跡方程；
（Ⅲ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），的焦點在x軸上，
且橢圓上的點A到焦點F₁、F₂的距離之和是4，
∴2a=4，即a=2；
又∵點A（1，

3

2

）在橢圓上，
∴b²=1，∴c²=a²-b²=

3

；
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y²=1，
焦點F₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0）．　　…（5分）
（Ⅱ）設(shè)橢圓C上的點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN中點T（x，y），
MN過F1，其方程可設(shè)為：y=k(x+

3

)
由題意得：M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入橢圓方程，兩式相減得：

(x1+x2)(x1-x2) 4 +(y1+y2)(y1-y2)=0， 又x= x1+x2 2 ，y= y1+y2 2

x 4 +ky=0，與y=k(x+ 3 )聯(lián)立消去k可得： x2+ 3 x+4y2=0

即為線段MN中點T的軌跡方程．K不存在時也成立．　　　…（9分）
（Ⅲ）顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-4k2

1+4k2

由于∠AOB為銳角，x₁x₂+y₁y₂＞0，∴

12

1+4k2

+

4-4k2

1+4k2

＞0
∴-2＜k＜2
∴直線L的斜率的取值范圍是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）…（14分）

點評：本題考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程以及線段的中點坐標(biāo)公式，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．