Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n）
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數列{a_n}的通項a_n；
（3）設數列{b_n}滿足，證明：①（； ②b_n＜1．

Answer 1

（1）解：∵a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），
∴a₂=2a₁=2，
2a₃=2（a₁+a₂）=6，a₃=3，
3a₄=2（a₁+a₂+a₃）=12，a₄=4；（3分）
（2）解：na_n+1=2（a₁+a₂++a_n）①
（n-1）a_n=2（a₁+a₂+…+a_n-1）②
①-②得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
即：na_n+1=（n+1）a_n，（6分）
所以
所以a_n=n（n∈N^*）；（8分）
（3）證明：①由（2）得：
＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，
所以數列{b_n}是正項單調遞增數列，（10分）
當n≥1，，
所以，（12分）
②1°當n=1時，顯然成立．
2°當n≥2時，
＞-

=
=，所以，
綜上可知，b_n＜1成立．（14分）
分析：（1）由數列{a_n}中，a₁=1，na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄．
（2）由na_n+1=2（a₁+a₂+…+a_n），得（n-1）a_n=2（a₁+a₂++a_n-1），二者相減得到na_n+1=（n+1）a_n，由此能求出a_n．
（3）①由（2）得：＞b_n＞b_n-1＞…＞b₁＞0，所以數列{b_n}是正項單調遞增數列，由此能夠證明．
②當n=1時，顯然成立．當n≥2時，＞，所以，由此能夠證明b_n＜1成立．
點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查不等式的證明．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意迭代法和放縮法的靈活運用．