Question

20、自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響。用x_n表示某魚群在第n年年初的總量，n∈N^＊，且x₁＞0。不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與x_n成正比，死亡量與x_n²成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c。

（Ⅰ）求x_n+1與x_n的關系式；

（Ⅱ）猜測：當且僅當x₁，a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）

（Ⅲ）設a＝2，c＝1，為保證對任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是多少？證明你的結論。

Answer 1

20．解（I）從第n年初到第n+1年初，魚群的繁殖量為ax_n，被捕撈量為bx_n，死亡量為

   （II）若每年年初魚群總量保持不變，則x_n恒等于x₁， n∈N^*，從而由（*）式得

  

   因為x₁>0，所以a>b.

   猜測：當且僅當a>b，且時，每年年初魚群的總量保持不變.

   （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N^*    

   由x_n+1=x_n (3－b－x_n), n∈N^*, 知

   0<x_n<3－b, n∈N^*, 特別地，有0<x₁<3－b. 即0＜b＜3-x₁.

   而x₁∈(0, 2)，所以

   由此猜測b的最大允許值是1.

   下證 當x₁∈(0, 2) ，b=1時，都有x_n∈(0, 2), n∈N^*

①當n=1時，結論顯然成立.

②假設當n=k時結論成立，即x_k∈(0, 2),

則當n=k+1時，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因為x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故當n=k+1時結論也成立.

由①、②可知，對于任意的n∈N^*，都有x_n∈(0,2).

綜上所述，為保證對任意x₁∈(0, 2), 都有x_n >0， n∈N*，則捕撈強度b的最大允許值是1.