已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象過原點,且在x=1處取得極值,直線x-3y+3=0與曲線y=f(x)在原點處的切線互相垂直.
(I)求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)若對任意實數(shù)的m,n∈[-2,2],恒有|f(m)-f(n)|≤t成立,求實數(shù)t的取值范圍.

解:(I)由題意有f(0)=c=0,f'(x)=3x2+2ax+b
∵函數(shù)在x=1處取得極值,∴f′(1)=3+2a+b=0
又曲線y=f(x)在原點處的切線的斜率k=f′(0)=b,直線x-3y+3=0與曲線y=f(x)在原點處的切線互相垂直
∴b=-3,從而可得a=0,
∴f(x)=x3-x;
(II)由(I)f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f'(x)>0可得x<-1或x>1;令f'(x)<0可得-1<x<1
∴函數(shù)在(-∞,-1),(1,+∞)上為增函數(shù),在(-1,1)上為減函數(shù)
∵f(-2)=-2,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2
∴f(x)在[-2,2]上的最大值是2,最小值是-2
∵對任意實數(shù)的m,n∈[-2,2],恒有|f(m)-f(n)|≤t成立,
∴t≥|2-(-2)|,即t≥4.
分析:(I)利用函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象過原點,求c的值,根據(jù)在x=1處取得極值,直線x-3y+3=0與曲線y=f(x)在原點處的切線互相垂直,可求a,b的值,從而可求函數(shù)f(x)的解析式;
(II)確定函數(shù)在[-2,2]上的最值,即可求得實數(shù)t的取值范圍.
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的解析式,考查函數(shù)的最值,考查恒成立問題,確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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