Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，且在x=1處取得極值，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）若對任意實數(shù)的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b
∵函數(shù)在x=1處取得極值，∴f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直
∴b=-3，從而可得a=0，
∴f（x）=x³-x；
（II）由（I）f'（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1），
令f'（x）＞0可得x＜-1或x＞1；令f'（x）＜0可得-1＜x＜1
∴函數(shù)在（-∞，-1），（1，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)
∵f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2
∴f（x）在[-2，2]上的最大值是2，最小值是-2
∵對任意實數(shù)的m，n∈[-2，2]，恒有|f（m）-f（n）|≤t成立，
∴t≥|2-（-2）|，即t≥4．
分析：（I）利用函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象過原點，求c的值，根據(jù)在x=1處取得極值，直線x-3y+3=0與曲線y=f（x）在原點處的切線互相垂直，可求a，b的值，從而可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）確定函數(shù)在[-2，2]上的最值，即可求得實數(shù)t的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．