Question

已知雙曲線W：，其中一個(gè)焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線間的距離為，漸近線方程為
（1）求雙曲線W的方程
（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，1）的直線l交雙曲線W與A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，求直線l的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用一個(gè)焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線間的距離為，漸近線方程為，建立方程組，求得幾何量，即可求得雙曲線的方程；
（2）設(shè)出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由已知可得，，∴
∴雙曲線W的方程為；
（2）易知直線斜率存在，設(shè)AB的方程為y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y可得（3-k²）x²-2kx-4=0
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由，可得k²＜4且k²≠3
∵坐標(biāo)原點(diǎn)O在以線段AB為直徑的圓外，
∴＞0
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=＞0
∴k²＞3
∴3＜k²＜4
∴直線l的斜率范圍為（-2，-）∪（，2）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．