Question

13．（1）若不等式|2x-1|+|x+2|≥m²+$\frac{1}{2}$m+2對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設a，b，c大于0，且1≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$≤$\frac{2}{5}$（|2x-1|+|x+2|）對任意實數(shù)x恒成立，求證：a+2b+3c≥9．

Answer 1

分析 （1）由絕對值的含義，將|2x-1|+|x+2|寫成分段函數(shù)式，分別求出各段的范圍，可得最小值，進而得到m²+$\frac{1}{2}$m+2≤$\frac{5}{2}$，解不等式可得m的范圍；
（2）運用兩邊夾法則，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，且a，b，c大于0，即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$），展開后運用基本不等式，即可得證．

解答 解：（1）|2x-1|+|x+2|=$\left\{\begin{array}{l}{-1-3x，x≤-2}\\{3-x，-2＜x≤\frac{1}{2}}\\{3x+1，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
當x≤-2時，-1-3x遞減，取值范圍是[5，+∞）；
當-2＜x≤$\frac{1}{2}$時，3-x的范圍是[$\frac{5}{2}$，5）；
當x＞$\frac{1}{2}$時，3x+1的范圍是（$\frac{5}{2}$，+∞）．
從而|2x-1|+|x+2|≥$\frac{5}{2}$，
解不等式m²+$\frac{1}{2}$m+2≤$\frac{5}{2}$，得m∈[-1，$\frac{1}{2}$]．
（2）證明：
由（1）知$\frac{2}{5}$（|2x-1|+|x+2|）≥1，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$≤1，又1≤$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$=1，且a，b，c大于0，
即有a+2b+3c=（a+2b+3c）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{2b}$+$\frac{1}{3c}$）
=3+（$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$）+（$\frac{3a}{c}$+$\frac{a}{3c}$）+（$\frac{3c}{2b}$+$\frac{2b}{3c}$）
≥3+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{a}•\frac{a}{3c}}$+2$\sqrt{\frac{3c}{2b}•\frac{2b}{3c}}$=9．
當且僅當a=2b=3c=$\frac{1}{3}$時，等號成立．因此a+2b+3c≥9．

點評 本題考查絕對值函數(shù)的最值的求法，不等式恒成立問題的解法和不等式的證明，注意運用函數(shù)的單調(diào)性求最值，以及基本不等式的運用，屬于中檔題．