Question

已知：函數，
（1）求：函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性并說明理由；
（3）判斷函數f（x）在（-∞，-2）上的單調性，并用定義加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要是函數有意義，只要x≠0即可；
（2）由函數奇偶性的定義，只要判斷f（-x）和f（x）的關系即可；
（3）由函數單調性的定義，在（-∞，-2）上任取兩個自變量，做差比較兩個函數值的大小即可．
解答：解：（1）定義域：（-∞，0）∪（0，+∞）；
（2）定義域關于原點對稱，
，
則：函數f（x）是奇函數；
（3）判斷：函數f（x）在（-∞，-2）上是增函數，
證明：任取x₁，x₂∈（-∞，-2）且x₁＜x₂，=
∵x₁＜x₂＜-2，∴x₁x₂-4＞0，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在（-∞，-2）上是增函數．
點評：本題考查求函數的定義域問題、函數單調性和奇偶性的判斷和證明，屬基本題型、基本方法的考查，難度不大．