Question

（2011•西城區(qū)二模）如圖，菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點M是棱BC的中點，DM=3

2

．
（Ⅰ）求證：OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（Ⅲ）求三棱錐M-ABD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據點O是菱形ABCD的對角線的交點，則O是AC的中點．又點M是棱BC的中點，根據中位線定理可知OM∥AB，而OM?平面ABD，AB?平面ABD，滿足線面平行的判定定理；
（Ⅱ）根據OM=OD=3，而DM=3

2

，則OD⊥OM，根據菱形ABCD的性質可知OD⊥AC，而OM∩AC=O，根據線面垂直的判定定理可得OD⊥平面ABC，OD?平面MDO，滿足面面垂直的判定定理，從而證得結論；
（Ⅲ）根據三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積，由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，則OD=3為三棱錐D-ABM的高，最后根據三棱錐的體積公式解之即可．

解答：（Ⅰ）證明：因為點O是菱形ABCD的對角線的交點，
所以O是AC的中點．又點M是棱BC的中點，
所以OM是△ABC的中位線，OM∥AB．…（2分）
因為OM?平面ABD，AB?平面ABD，
所以OM∥平面ABD．…（4分）
（Ⅱ）證明：由題意，OM=OD=3，
因為DM=3

2

，所以∠DOM=90°，OD⊥OM．…（6分）
又因為菱形ABCD，所以OD⊥AC．…（7分）
因為OM∩AC=O，
所以OD⊥平面ABC，…（8分）
因為OD?平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO．…（9分）
（Ⅲ）解：三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積．…（10分）
由（Ⅱ）知，OD⊥平面ABC，
所以OD=3為三棱錐D-ABM的高．…（11分）
△ABM的面積為

1

2

BA×BM×sin120°=

1

2

×6×3×

3

2

=

9 3

2

，…（12分）
所求體積等于

1

3

×S△ABM×OD=

9 3

2

．…（13分）

點評：本題主要考查了線面平行的判定，以及面面垂直的判定和體積的計算，同時考查了推理論證和計算能力，屬于中檔題．