Question

2．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)f（x）+f（2-x）=0．當(dāng)x∈[0，1]時f（x）=x²-1，若關(guān)于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． （5-2$\sqrt{6}$，4-$\sqrt{13}$）
• B． （8-2$\sqrt{15}$，4-2$\sqrt{3}$）
• C． （5-2$\sqrt{6}$，4-2$\sqrt{3}$）
• D． （8-2$\sqrt{15}$，4-$\sqrt{13}$）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性求出函數(shù)的周期，以及函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與y=kx有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合，以及直線和拋物線相切的等價條件，利用判別式△=0，進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)f（x）+f（2-x）=0．
∴f（x）=-f（2-x）=-f（x-2），
即f（x+2）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)的周期是4的周期函數(shù)，
若x∈[-1，0]時，則-x∈[0，1]時，此時f（-x）=x²-1=f（x），
即f（x）=x²-1，x∈[-1，0]，
綜上f（x）=x²-1，x∈[-1，1]，
若x∈[-2，-1]時，則x+2∈[0，1]，
則由f（x+2）=-f（x），得f（x）=-f（x+2）=-[（x+2）²-1]=1-（x+2）²，x∈[-2，-1]
若x∈[1，2]時，則-x∈[-2，-1]時，
則f（-x）=1-（-x+2）²=1-（x-2）²=f（x），
即f（x）=1-（x-2）²，x∈[1，2]，
即函數(shù)在一個周期[-2，2]上的解析式為f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-（x+2）^{2}，}&{x∈[-2，-1）}\\{{x}^{2}-1，}&{x∈[-1，1]}\\{1-（x-2）^{2}，}&{x∈（1，2]}\end{array}\right.$，

若關(guān)于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，
等價為f（x）=kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，
即函數(shù)f（x）與y=kx有三個不同的交點，
作出函數(shù)f（x）和y=kx的圖象如圖：
當(dāng)x∈[1，2]時，由f（x）=1-（x-2）²=kx，得x²+（k-4）x+3=0，
由判別式△=（k-4）²-12=0得k-4=±2$\sqrt{3}$，即k=4±2$\sqrt{3}$，
由1＜$-\frac{k-4}{2}$＜2，解得0＜k＜6
則k=4-2$\sqrt{3}$，此時兩個函數(shù)有2個交點．
當(dāng)x∈[-4，-3]時，x+4∈[0，1]時，
則f（x）=f（x+4）=（x+4）²-1，x∈[-4，-3]，
此時當(dāng)f（x）與y=kx相切時，即（x+4）²-1=kx，
即x²+（8-k）x+15=0，
判別式△=（8-k）²-4×15=0得k-8=±2$\sqrt{15}$，即k=8±2$\sqrt{15}$，
由-4＜-$\frac{8-k}{2}$＜-3，得0＜k＜2，
即k=8-2$\sqrt{15}$，此時兩個函數(shù)有4個交點．
故若關(guān)于x的方程f（x）-kx=0恰有三個不同的實數(shù)解，則正實數(shù)k滿足8-2$\sqrt{15}$＜k＜4-2$\sqrt{3}$，
故選：B

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性和解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點問題是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．