Question

2．已知圓C：x²+（y-1）²=9，直線l：x-my+m-2=0，且直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（2，1）滿足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，則圓心到直線的距離為$\sqrt{9-8}$=1，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，即可求直線l的傾斜角；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（2，1）滿足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，則P為AB的中點(diǎn)，求出直線的斜率，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）若|AB|=4$\sqrt{2}$，則圓心到直線的距離為$\sqrt{9-8}$=1，
∴$\frac{|-2|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，∴m=$±\sqrt{3}$，
∴直線的斜率為$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線l的傾斜角為30°或150°；
（Ⅱ）若點(diǎn)P（2，1）滿足$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{PB}$，則P為AB的中點(diǎn)，
∵k_CP=0，∴直線l的斜率不存在，
∴直線l的方程為x=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而再由弦心距，圓的半徑及弦長(zhǎng)的一半，利用勾股定理解決問(wèn)題．