Question

1．雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦點為F₁，F(xiàn)₂，若C上存在點P，使得|PF₁|=k|PF₂|（k＞1），則雙曲線C的離心率e的取值范圍是（　�。�

• A． （k，$\frac{k+1}{k-1}$]
• B． （1，$\frac{k+1}{k-1}$]
• C． （1，k]
• D． [k，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)雙曲線定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a進而根據(jù)|PF₂|=k|PF₁|，求得|PF₁|=$\frac{2a}{k-1}$，|PF₂|=$\frac{2ka}{k-1}$，同時利用三角形中兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，推斷出，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，進而求得a和c的不等式關(guān)系，分析當P為雙曲線頂點時，e=$\frac{k+1}{k-1}$且雙曲線離心率大于1，最后綜合答案可得．

解答 解：根據(jù)雙曲線定義可知|PF₂|-|PF₁|=2a，即k|PF₁|-|PF₁|=2a．
∴|PF₁|=$\frac{2a}{k-1}$．|PF₂|=$\frac{2ka}{k-1}$
在△PF₁F₂中，|F₁F₂|＜|PF₁|+|PF₂|，
2c＜$\frac{2a（k+1）}{k-1}$，
∴e＜$\frac{k+1}{k-1}$，
當p為雙曲線頂點時，e=$\frac{k+1}{k-1}$
又∵雙曲線e＞1，
∴1＜e≤$\frac{k+1}{k-1}$
故選：B．

點評 本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，三角形邊與邊之間的關(guān)系．解題的時候一定要注意點P在雙曲線頂點位置時的情況，以免遺漏答案．