Question

某校興趣小組運用計算機對輪船由海上行駛入內陸海灣進行了一次模擬試驗．如圖，內陸海灣的入口處有暗礁，圖中陰影所示的區(qū)域為暗礁區(qū)，其中線段AA₁，B₁B，CC₁，D₁D關于坐標軸或原點對稱，線段B₁B的方程為y=x，x∈[a，b]，過o有一條航道．有一艘正在海面上航行的輪船準備進入內陸海灣，在點M(-

5

2

a，0)處測得該船發(fā)出的汽笛聲的時刻總晚1s（設海面上聲速為am/s）．若該船沿著當前的航線航行（不考慮輪船的體積）
（Ⅰ）問興趣小組觀察到輪船的當前的航線所在的曲線方程是什么？
（Ⅱ）這艘船能否由海上安全駛入內陸海灣？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設輪船所在的位置為P，由題意在點M處測得該船發(fā)出的汽笛聲的時刻總晚1s，可得|PM|-|PN|=a，結合雙曲線的定義，可得故點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，代入數據可得答案，
（Ⅱ）設直線l的方程為y=y₀，分0≤y₀≤a時與y₀≥a時兩種情況討論，每種情況下，分別設出l與雙曲線右支、直線y=x的交點，求出交點的坐標，判斷l(xiāng)與雙曲線的交點與y=x的位置關系，即可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設輪船所在的位置為P，由題意可得|PM|-|PN|=a．∵a＜|MN|，
故點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支．
設點P的軌跡方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1（m＞0，n＞0）則m=

1

2

an=

5a2 4 - a2 4

=a，
∴興趣小組觀察到輪船的當前航線所在的曲線方程是4x²-y²=a²（x＞0）；
（II）這艘船能由海上安全駛入內陸海灣．
設直線l的方程為y=y₀
①當0≤y₀≤a時，設l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點Q₁，S₁，則 Q1(

1

2

y02+a2

，y0)，S₁（a，y₀），
∵

1

2

y02+a2

＜

1

2

a2+a2

＜a∴點Q₁在點S₁的左側，∴船不可能進入暗礁區(qū)，
②當y₀≥a時，設l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點Q₂，S₂，
則Q2(

1

2

y02+a2

，y0)，S₂（y₀，y₀），
∵

1

4

(y02+a2)-y02=-

3y02-a2

4

＜0∴

1

2

y02+a2

＜y0∴Q₂在點S₂的右側，∴船不可能進入暗礁區(qū)．
綜上，在x軸上方，船不可能進入暗礁區(qū)，由對稱性可知，船能由海上安全駛入內陸海灣．

點評：本題考查雙曲線的運用，解此類題目時，要注意結合題意，務必明確所求得的軌跡是雙曲線的兩支還是其中一支．