Question

設(shè)函數(shù)定義在上，，導(dǎo)函數(shù)

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間和最小值；

（Ⅱ）討論與的大小關(guān)系；

（Ⅲ）是否存在，使得對任意成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解 （Ⅰ）由題設(shè)易知，，

，令得，

當時，，故（0,1）是的單調(diào)減區(qū)間，

當時，，故是的單調(diào)增區(qū)間，

因此，是的唯一極值點，且為極小值點，從而是最小值點，所以最小值為.

（Ⅱ），

設(shè)，則，

當時，，即，

當時，，

因此，在內(nèi)單調(diào)遞減，

當時，，即，

當時，，即.

（Ⅲ）滿足條件的不存在.

證明如下：

證法一  假設(shè)存在 ，使 對任意 成立，

即對任意，有  ，（*）

但對上述，取時，有  ，這與(*)左邊不等式矛盾，

因此，不存在 ，使 對任意成立。

證法二  假設(shè)存在，使  對任意的成立。

由（Ⅰ）知， 的最小值為。

又，而時，的值域為，

∴   時， 的值域為，

從而可取一個，使 ，

即 ，故 ，與假設(shè)矛盾。