Question

已知向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω為常數(shù)且ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

在R上的最大值為2．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，若y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，求ω的最大值．

Answer 1

分析：（1）把向量

a

=（1+cosωx，1），

b

=（1，a+

3

sinωx）（ω為常數(shù)且ω＞0），代入函數(shù)f（x）=

a

•

b

整理，利用兩角和的正弦函數(shù)化為2sin（ωx+

π

6

）+a+1，根據(jù)最值求實數(shù)a的值；
（2）由題意把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)y=g（x）的圖象，利用y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，就是周期≥π，然后求ω的最大值．

解答：解：（1）f（x）=1+cosωx+a+

3

sinωx=2sin（ωx+

π

6

）+a+1．
因為函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，
所以3+a=2，故a=-1．
（2）由（1）知：f（x）=2sin（ωx+

π

6

），
把函數(shù)f（x）=2sin（ωx+

π

6

）的圖象向右平移

π

6ω

個單位，可得函數(shù)
y=g（x）=2sinωx．
又∵y=g（x）在[0，

π

4

]上為增函數(shù)，
∴g（x）的周期T=

2π

ω

≥π，即ω≤2，
∴ω的最大值為2．

點評：本題是基礎(chǔ)題，以向量的數(shù)量積為載體，三角函數(shù)的化簡求值為主線，三角函數(shù)的性質(zhì)為考查目的一道綜合題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力．