Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，a₂是a₁和a₃的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，知S_n+1=2^n-1，（S₁+1）=2^n-1（a₁+1），S_n-1+1=2^n-2（a₁+1），故a_n=2^n-2（a₁+1），n≥2，由此能求出a_n=2^n-1．
（2）由a_n=2^n-1，知na_n=n×2^n-1，故T_n=1×2+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{na_n}的前n項和T_n．
解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{S_n+1}是公比為2的等比數(shù)列，
∴S_n+1=2^n-1（S₁+1）=2^n-1（a₁+1）①
S_n-1+1=2^n-2（a₁+1）②
①-②得
a_n=2^n-2（a₁+1），n≥2
a₂=a₁+1，
a₃=2（a₁+1）
a₂是a₁和a₃的等比中項，故
a₂²=a₁a₃，
（a₁+1）²=a₁•2（a₁+1），
解得a₁=1，（a₁=-1則a₂=0不合題意舍去）
故a_n=2^n-1．
（2）由a_n=2^n-1，知na_n=n×2^n-1，
∴T_n=1×2+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，①
2T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，②
②-①得
T_n=n×2ⁿ-（2+2¹+2²+2³+…+2^n-1）
=n×2ⁿ-
=n×2ⁿ-2ⁿ+1．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯位相減法的合理運用．