Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-ax．
（1）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的最值（4分）；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿足．
①證明對(duì)一切n∈N⁺且n≥2，a_n≥2（4分）；
②證明對(duì)一切n∈N⁺，a_n＜e³（這里e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）（6分）．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在其定義域（-1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，無(wú)最值；]
當(dāng)a＞0時(shí)，，由f′（x）=0，，
且時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在內(nèi)遞增；時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在內(nèi)遞減，
故為f（x）在定義域內(nèi)的最大值；f（x）在其定義域（-1，+∞）內(nèi)無(wú)最小值
（2）①易用數(shù)學(xué)歸納法證明．
②當(dāng)a=1時(shí)，由第（1）小題知ln（1+x）＜x對(duì)x＞0恒成立，
由①知
所以
所以 ．
顯然a₁，a₂＜e³；因?yàn)? lna₁=ln1=0，所以n≥3時(shí)，lna_n=（lna_n-lna_n-1）+（lna_n-1-lna_n-2）+…+（lna₂-lna₁）=，
所以 a_n＜e³，綜合知對(duì)一切n∈N⁺，a_n＜e³．
分析：（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在其定義域（-1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，無(wú)最值．當(dāng)a＞0時(shí)，，由f′（x）=0，，由此能夠得到函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的最值．
（2）①易用數(shù)學(xué)歸納法證明．②當(dāng)a=1時(shí)，ln（1+x）＜x對(duì)x＞0恒成立，由，知，所以．由此能夠推導(dǎo)出對(duì)一切n∈N⁺，a_n＜e³．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等介轉(zhuǎn)化．