【題目】在平面直角坐標系中，若，，且.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設（Ⅰ）中曲線的左、右頂點分別為、，過點的直線與曲線交于兩點，（不與，重合）.若直線與直線相交于點，試判斷點，，是否共線，并說明理由.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

【解析】

第（Ⅰ）問由且可得點到兩定點的距離之和為常數(shù)，可得動點軌跡為橢圓；

第（Ⅱ）問分類討論直線的方程，斜率不存在時可直接求出所需點的坐標；斜率存在時則先設出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點關系，再求出點，利用的關系判斷即可.

解：（Ⅰ）設，，則

.

∴動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

設其方程為，則，，即，，

∴.∴動點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）①當直線的斜率不存在時，：，不妨設，，

∴直線的方程為，

令得.

∴.∴點，，共線.

②當直線的斜率存在時，設：，設，.

由消得，

由題意知恒成立，故，，

∴直線的方程為，

令得.

∴ ，

上式中的分子

.

∴，∴點，，共線.

綜上可知，點，，共線.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.

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（2）已知與直線平行的直線過點，且與曲線交于兩點，試求.

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（2）當時，求證：；

（3）求證：．

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【題目】2019年全國掀起了垃圾分類的熱潮，垃圾分類已經成為新時尚，同時帶動了垃圾桶的銷售.某垃圾桶生產和銷售公司通過數(shù)據分析，得到如下規(guī)律：每月生產只垃圾桶的總成本由固定成本和生產成本組成，其中固定成本為100萬元，生產成本為.

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（2）假設該類型垃圾桶產銷平衡（即生產的垃圾桶都能賣掉），每只垃圾桶的售價為元，滿足.若當產量為15000只時利潤最大，此時每只售價為300元，試求的值.（利潤銷售收入成本費用）

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【題目】設．

討論的單調區(qū)間；

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【題目】已知函數(shù) ．

（1）當時，若函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）當， 時，對任意，有成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下：

是否需要志愿 性別

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；

（2）能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？

（3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人中，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由.

P

0.0

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若關于的不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，0）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．

(Ⅰ)寫出曲線C的直角坐標方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C交于A，B兩點，且AB的長度為2，求直線l的普通方程．

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