Question

9．已知α，β均為銳角，且sinα=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，求cos$\frac{β}{2}$的值．

Answer 1

分析 由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cosα和cos（α+β）的值，代入cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα計算可得其值，再由二倍角公式可得．

解答 解：∵α，β均為銳角，且sinα=$\frac{12}{13}$，sin（α+β）=$\frac{4}{5}$，
∴α+β為鈍角，∴cosα=$\frac{5}{13}$，cos（α+β）=-$\frac{3}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$-\frac{3}{5}×\frac{5}{13}$+$\frac{4}{5}×\frac{12}{13}$=$\frac{33}{65}$
又cosβ=2cos²$\frac{β}{2}$-1，cos²$\frac{β}{2}$=$\frac{49}{65}$；
∴cos$\frac{β}{2}$=$\frac{7\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，涉及同角三角函數(shù)基本關(guān)系和二倍角公式，屬中檔題．