Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=7，a₅+a₇=26．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若m=

2an

2n+2

，數(shù)列{b_n}滿足關(guān)系式b_n=

1，  n=1 bn-1+m，n≥2

，求證：數(shù)列{b_n}的通項公式為b_n=2ⁿ-1；
（3）設(shè)（2）中的數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，對任意的正整數(shù)n，（1-n）•（S_n+n+2）+（n+p）•2ⁿ⁺¹＜2恒成立，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由等差數(shù)列有通項公式，得到首項與公差的方程組，得出首項與公差的值，得到通項公式；（2）已知數(shù)列的遞推公式，由疊加法，得到數(shù)列的通項公式；（3）將數(shù)列求和得到前n項和后，將條件變形后，得到關(guān)于參數(shù)p的關(guān)系式，這是一個恒成立問題，通過最值的研究，得到本題結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列a_n的公差為d，
由已知，有

a1+2d=7 2a1+10d=26

解得

a1=3 d=2

所以a_n=3+2（n-1）=2n+1，
即差數(shù)列a_n的通項公式為a_n=2n+1，n∈N^*．
（2）因為m=

2an

2n+2

=

22n+1

2n+2

=2n-1，
所以，當(dāng)n≥2時，bn=bn-1+2n-1．
證法一（數(shù)學(xué)歸納法）：
①當(dāng)n=1時，b₁=1，結(jié)論成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，即bk=2k-1，
那么當(dāng)n=k+1時，bk+1=bk+2k=2^k-1+2^k=2^k+1-1，
即n=k+1時，結(jié)論也成立． 
由①，②得，當(dāng)n∈N^*時，bn=2n-1成立．
證法二：當(dāng)n≥2時，bn-bn-1=2n-1，
所以

b2-b1=2 b3-b2=22 … bn-bn-1=2n-1

將這n-1個式子相加，得bn-b1=2+22+23+…+2n-1，
即bn=1+2+22+…+2n-1=

1-2n

1-2

=2n-1．
當(dāng)n=1時，b₁=1也滿足上式．
所以數(shù)列{b_n}的通項公式為bn=2n-1．
（3）由（2）bn=2n-1，所以Sn=(2+22+23+…+2n)-n=2n+1-(n+2)，
∴原不等式變?yōu)椋?-n）2ⁿ⁺¹+（n+p）•2ⁿ⁺¹＜2，即p•2ⁿ⁺¹＜2-2ⁿ⁺¹，
∴p＜

1

2n

-1對任意n∈N^*恒成立，
∵n為任意的正整數(shù)，
∴p≤-1．
∴m的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查的是數(shù)列和不等式的知識，涉及到等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式、疊加法求通項，以及不等關(guān)系式．本題有一定的思維量，運(yùn)算量較大，屬于難題．