如圖,已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，其準(zhǔn)線與x軸交于K點(diǎn).

（1）求證：KF平分∠MKN；

（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，求的最小值.

 

【答案】

（1）見解析；（2）8.

【解析】

試題分析：（1）只需證，設(shè)出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)和直線MN方程，再把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得證；（2）由（1）設(shè)出的M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別先求出P、Q兩點(diǎn)坐標(biāo)，還是把設(shè)出的直線MN方程與拋物線方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理把表示出來，再根據(jù)直線MN的傾斜角的范圍求的最小值.

試題解析：（1）拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.       2分

設(shè)直線MN的方程為。設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為

由,   ∴.  4分

設(shè)KM和KN的斜率分別為，顯然只需證即可. ∵，

∴ ，        6分

（2）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為，由M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為，由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為，    7分

設(shè)直線MN的方程為。由

∴則

     9分

又直線MN的傾斜角為，則 

∴ .10分

同理可得.  13分

(時(shí)取到等號(hào)) .       15分

考點(diǎn)：1、拋物線的方程及性質(zhì)；2、直線與曲線相交的性質(zhì).

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖,已知橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2,A、B為頂點(diǎn),離心率e=.

(1)求證:A、F1、B、F2四點(diǎn)共圓;

(2)以BF1為直徑,作半圓O1,AF切半圓于E,交F1B延長(zhǎng)線于F,求cosF的值.

圖20

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年山西省高三上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，直線分別與直線：相交于兩點(diǎn)．

(1)求拋物線的方程；

(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年陜西省西安市高三下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且不平行于軸的動(dòng)直線交拋物線于，兩點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn).

（Ⅰ）求證：，，三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年江蘇省鹽城市高三摸底考試數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分16分）

如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，是拋物線上橫坐標(biāo)為8且位于軸上方的點(diǎn). 到拋物線準(zhǔn)線的距離等于10，過作垂直于軸，垂足為，的中點(diǎn)為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）過作，垂足為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅲ）以為圓心，4為半徑作圓，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試討論直線與圓的位置關(guān)系.

                       

 

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