Question

已知向量

m

=（cosωx，sinωx），

n

=（cosωx，

3

cosωx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

-

1

2

．若函數(shù)f（x）的零點間隔為

π

2

，則函數(shù)f（x）的值域為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：利用數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得：f（x）=

m

•

n

-

1

2

=sin(2ωx+

π

3

)．由于函數(shù)f（x）的零點間隔為

π

2

，可得：周期T=π=

2π

2ω

，解得ω=1．進而得出函數(shù)的值域．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

m

•

n

-

1

2

=cos2ωx+

3

sinωcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin(2ωx+

π

3

)．
∵函數(shù)f（x）的零點間隔為

π

2

，
∴周期T=π=

2π

2ω

，解得ω=1．
∴f（x）=sin(2x+

π

3

)，
 則函數(shù)f（x）的值域為[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點評：本題考查了數(shù)量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．