Question

如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，∠BAC＝30°，BM⊥AC交 AC 于點 M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C//EA，AC＝4，EA＝3，F(xiàn)C＝1．

（I）證明：EM⊥BF；

（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成銳二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先以點為坐標原點建立空間直角坐標系，并以此確定、、、四點的坐標，通過驗證來達到證明的目的；（Ⅱ）求出平面與平面各自的法向量，利用空間向量法求出平面與平面所成銳二面角的余弦值.

試題解析：（1），．

如圖，以為坐標原點，垂直于、、所在的直線為軸建立空間直角坐標系．由已知條件得，，，，，

．

由，

得， ．  

（2）由（1）知，．

設平面的法向量為，

由，得，

令得，，，

由已知平面，所以取面的法向量為，

設平面與平面所成的銳二面角為，

則，

平面與平面所成的銳二面角的余弦值為． 

考點：直線與直線的垂直、二面角、空間向量法