Question

16．已知二次函數(shù)f（x）對任意的x都有f（x+2）-f（x）=-4x+4，且f（0）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+m，（m∈R）．
①若存在實數(shù)a，b（a＜b），使得g（x）在區(qū)間[a，b]上為單調(diào)函數(shù)，且g（x）取值范圍也為[a，b]，求m的取值范圍；
②若函數(shù)g（x）的零點都是函數(shù)h（x）=f（f（x））+m的零點，求h（x）的所有零點．

Answer 1

分析 （1）設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax²+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）g（x）=-x²+4x+m，對稱軸x=2，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，b≤2或a≥2，①1°當b≤2時，2°當a≥2時，列出不等式組，求解m的取值范圍為$（-\frac{9}{4}，-2]∪$$（-\frac{5}{4}，-1]$；
②（法一）設(shè)x₀為g（x）的零點，則$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）=0\\ h（{x_0}）=0\end{array}\right.$，求出m=0或m=-3，1°當m=0時，求出h（x）所有零點為0，2，4；2°當m=-3時，求出h（x）所有零點為$1，3，2±\sqrt{3}$；
（法二）函數(shù)g（x）的零點都是函數(shù)h（x）的零點，-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m=-（-x²+4x+m）（-x²+sx+t），展開對應(yīng)系數(shù)相等求解即可．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=ax²+bx+c，
則f（x+2）-f（x）=a（x+2）²+b（x+2）+c-（ax²+bx+c）=4ax+4a+2b…（2分）
由f（x+2）-f（x）=-4x+4得（4a+4）x+4a+2b-4=0恒成立，又f（0）=0
所以$\left\{\begin{array}{l}4a=-4\\ 4a+2b=4\\ c=0\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=4\\ c=0\end{array}\right.$，所以f（x）=-x²+4x…（4分）
（2）g（x）=-x²+4x+m，對稱軸x=2，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)，所以b≤2或a≥2
①1°當b≤2時，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)增，所以$\left\{\begin{array}{l}g（a）=a\\ g（b）=b\end{array}\right.$，即a，b為g（x）=x的兩個根，
所以只要g（x）=x有小于等于2兩個不相等的實根即可，
所以x²-3x-m=0要滿足$\left\{\begin{array}{l}9-4（-m）＞0\\{2^2}-6-m≥0\end{array}\right.$，得$-\frac{9}{4}＜m≤-2$…（6分）
2°當a≥2時，g（x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)減，所以$\left\{\begin{array}{l}g（a）=b\\ g（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{a^2}+4a+m=b\\-{b^2}+4b+m=a\end{array}\right.$
兩式相減得（b-a）（a+b-5）=0，因為b＞a，所以a+b-5=0，
所以m=a²-5a+5，$2≤a＜\frac{5}{2}$，得$-\frac{5}{4}＜m≤-1$…（9分）
綜上，m的取值范圍為$（-\frac{9}{4}，-2]∪$$（-\frac{5}{4}，-1]$…（10分）
②（法一）設(shè)x₀為g（x）的零點，則$\left\{\begin{array}{l}g（{x_0}）=0\\ h（{x_0}）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}^2+4{x_0}+m=0\\-{（-{x_0}^2+4{x_0}）^2}+4（-{x_0}^2+4{x_0}）+m=0\end{array}\right.$，
即-m²-4m+m=0，得m=0或m=-3…（12分）
1°當m=0時，h（x）=-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）=-x（x-4）（x²-4x+4）
所以h（x）所有零點為0，2，4…（14分）
2°當m=-3時，h（x）=-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）-3=-（-x²+4x-3）（-x²+4x-1）
（因為必有因式-x²+4x-3，所以容易分解因式）
由-x²+4x-3=0和-x²+4x-1=0得$x=1，3，2±\sqrt{3}$，
所以h（x）所有零點為$1，3，2±\sqrt{3}$…（16分）
（法二）函數(shù)g（x）的零點都是函數(shù)h（x）的零點，
所以-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m中必有因式-x²+4x+m，
所以可設(shè)：-（-x²+4x）²+4（-x²+4x）+m=-（-x²+4x+m）（-x²+sx+t）
展開對應(yīng)系數(shù)相等得$\left\{\begin{array}{l}m=0\\ s=4\\ t=-4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ s=4\\ t=-1\end{array}\right.$（下同法一）．

點評 本題考查函數(shù)的零點的求法，二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．