Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=x²-4x．
（1）求f（-1）的值；
（2）當(dāng)x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用偶函數(shù)的定義，將f（-1）轉(zhuǎn)化為f（1），從而代入已知解析式得解；（2）利用偶函數(shù)的定義，若x＜0，則-x＞0，代入已知解析式且f（-x）=f（x），得所求解析式；（3）由于x＞0時f（x）=x²-4x=（x-2）²-4在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)，故需討論t，t+1與2的關(guān)系，進(jìn)而利用二次函數(shù)的圖象求相應(yīng)的最小值，最后寫成分段函數(shù)形式
解答：解：（1）∵f（x）是R上的偶函數(shù)．
∴f（-1）=f（1）=1-4×1=-3
（2）若x＜0，則-x＞0
f（x）=f（-x）=[（-x）²-4（-x）]=x²+4x
（3）x＞0時f（x）=x²-4x=（x-2）²-4
在（0，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù)
①t+1≤2即0＜t≤1時，f（x）在[t，t+1]上是減函數(shù)
f（x）_min=f（t+1）=（t+1）²-4（t+1）=t²-2t-3
②t＜2＜t+1即1＜t＜2時f（x）在[t，t+1]上先減后增
f（x）_min=f（2）=-4
③t≥2時，f（x）在[t，t+1]上是增函數(shù)
f（x）_min=f（t）=t²-4t
即f（x）_min=
點(diǎn)評：本題考查了偶函數(shù)的定義及其應(yīng)用，利用函數(shù)的對稱性求函數(shù)值及函數(shù)解析式，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，分類討論的思想方法