Question

【題目】設(shè)為等差數(shù)列的公差，數(shù)列的前項和，滿足（），且，若實數(shù)（，），則稱具有性質(zhì).

（1）請判斷、是否具有性質(zhì)，并說明理由；

（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，若是單調(diào)遞增數(shù)列，求證：對任意的（，），實數(shù)都不具有性質(zhì)；

（3）設(shè)是數(shù)列的前項和，若對任意的，都具有性質(zhì)，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1）不具有性質(zhì)，具有性質(zhì)，理由見解析；（2）證明見解析；（3）和.

【解析】

（1）求得時,數(shù)列的前7項,可得和首項,得到等差數(shù)列的通項,即可判斷、是否具有性質(zhì)；

（2）由題意可得 ,代入等差數(shù)列的通項公式和求和公式,化簡整理可得入 ,結(jié)合集合中元素的特點(diǎn),即可得證；

（3）求得的特點(diǎn),結(jié)合 集合的特點(diǎn),即可得到所求取值.

解：（1）由得,

又,得,

可得,

從而,

故不具有性質(zhì),具有性質(zhì).

（2）,

因為數(shù)列單調(diào)遞增,所以,即,

又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增,則數(shù)列的最小項為,

則對任意,都有,

故實數(shù)都不具有性質(zhì).

（3）因為,所以,

兩式相減得 ,

即,

當(dāng)為偶數(shù)時,,即,此時為奇數(shù)；

當(dāng)為奇數(shù)時,,即,則,

此時為偶數(shù)；

則,.

則,

故

,

因為對于一切遞增,所以,

所以 .

若對任意的,都具有性質(zhì),則,

即,解得,又,則或,

即所有滿足條件的正整數(shù)的值為和.