Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿(mǎn)足關(guān)系：C(x)＝ (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．

(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；

(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

　(1)設(shè)隔熱層厚度為xcm，由題設(shè)知，

每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝.

再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝.

又建造費(fèi)用為C₁(x)＝6x.

最后得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為，

f(x)＝20C(x)＋C₁(x)＝20×＋6x

＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f ′(x)＝6－，

令f ′(x)＝0，

即＝6.解得x＝5，或x＝－(舍去)．

當(dāng)0<x<5時(shí)，f ′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f ′(x)>0，

故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋＝70.

當(dāng)隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．