Question

（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面，，，是的中點．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）證明平面；

（Ⅲ）求二面角的大�。�

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內的射影是，，．

又，綜上得平面．

（Ⅲ）二面角的大小是

【解析】（Ⅰ）證明：在四棱錐中，因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）證明：由，，可得．

是的中點，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面內的射影是，，．

又，綜上得平面．

（Ⅲ）解法一：過點作，垂足為，連結．則（Ⅱ）知，平面，在平面內的射影是，則．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．設，

可得．

在中，，，

則．

在中，．

所以二面角的大小是．

解法二：由題設底面，平面，則平面平面，交線為．

過點作，垂足為，故平面．過點作，垂足為，連結，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，設，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．