Question

如果橢圓的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在的直線方程是________．

Answer 1

x+2y-8=0
分析：若設(shè)弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；作差①-②，并由中點坐標(biāo)公式，可得直線斜率k，從而求出弦所在的直線方程．
解答：設(shè)弦的端點為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），代入橢圓方程，得9x₁²+36y₁²=36×9①，9x₂²+36y₂²=36×9②；①-②，得9（x₁+x₂）（x₁-x₂）+36（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0；由中點坐標(biāo)=4，=2，代入上式，得
36（x₁-x₂）+72（y₁-y₂）=0，∴直線斜率為k==-，所求弦的直線方程為：y-2=-（x-4），即x+2y-8=0．
故答案為：x+2y-8=0．
點評：本題考查了圓錐曲線中由中點坐標(biāo)公式，通過作差的方法，求得直線斜率k的應(yīng)用模型，屬于基礎(chǔ)題目．