Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為梯形，AB平行于CD，AD=DC=DD1=

1

2

AB=1，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中點．
（1）求證：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大�。�

Answer 1

分析：（1）由題意知四邊形AA₁D₁D是正方形，得AD₁⊥平面DA₁C，即AD₁⊥DC，可證DC⊥平面AA₁D₁D得 DC⊥A₁D_1．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，利用垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，求平面CD₁E的法向量，用向量的數(shù)量積求二面角的余弦值．

解答：解：（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱且AD=DD₁；
∴四邊形AA₁D₁D是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁；
∴AD₁⊥平面DA₁C；∴AD₁⊥DC（4分）
∵DD₁⊥DC，DD₁∩AD₁=D₁；
∴DC⊥平面AA₁D₁D；∴DC⊥A₁D₁（6分）
（2）由（1）知以D₁為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；

D1C

=(0，11)；

D1E

=(1，1，0)（8分）
由題意，平面D₁EB₁的法向量為

D1D

=（0，0，1）
設(shè)平面CD₁E的法向量

n

=（x，y，z），則

y+z=0 x+y=0

?

z=-y x=-y

，
令y=-1，則

n

=（1，-1，1）（10分）
∴cosθ=

nD1EB1 • nCD1E

| nD1EB1 || nCD1E |

=

3

3

；
由圖形知，二面角C-D₁E-B₁為銳角，
∴二面角C-D₁E-B₁的大小為arccos

3

3

．

點評：本題用了線面垂直的定理及定義進行線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化；借助垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量數(shù)量積求二面角的余弦值，注意二面角的大�。�