Question

某大學(xué)生利用暑假40天社會實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如下表所示：

銷售量P（件）	p=50-x
銷售單價(jià)q（元/件）	當(dāng)1≤x≤20時，q=30+ 1 2 x； 當(dāng)21≤x≤40時，q=20+ 525 x

（1）請計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件？
（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論x的取值范圍，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系式，即可求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）當(dāng)1≤x≤20時，q=30+

1

2

x=35，解得：x=10，
當(dāng)21≤x≤40時，q=30+

525

x

=35，解得：x=35，
∴第10天或第35天該商品的銷售單價(jià)為35元/件．
（2）當(dāng)1≤x≤20時，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x2+15x+500，
當(dāng)21≤x≤40時，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=

- 1 2 x2+15x+500，1≤x≤20 26250 x -525，21≤x≤40

．
（3）當(dāng)1≤x≤20時，y=-

1

2

x2+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∴當(dāng)x=15時，y有最大值為612.5，
當(dāng)21≤x≤40時，y=

26250

x

-525是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=21時，y有最大值為725，
∵725＞612.5，
∴這40天中該網(wǎng)店第21天獲得的利潤最大，最大為725元．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．