Question

已知Rt△ABC兩銳角A，B的正弦值，是實系數(shù)方程2x2-2

3

kx+5k-3=0的兩根．若數(shù)列{a_n}滿足an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，且a₁=5．試求數(shù)列{a_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

分析：由題意可得x1=sinA，x2=sinB=sin(

π

2

-A)=cosA，結(jié)合同角平分關系sin²A+cos²A=1可得x12+x22=1，由方程的根與系數(shù)關系可求k=1或k=

2

3

，經(jīng)檢驗當k=1時，無解不合題意；當k=

2

3

時，符合題意，代入可得an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，從而可得 {a_n-1}是等比數(shù)列，可求a_n，由等比數(shù)列的求和公式及分組求和的方法可求

解答：解：∵方程的兩根是一個直角三角形的兩銳角A、B的正弦，
令x₁=sinA，x₂=sinB=cosA
∵sin²A+cos²A=1
∴x12+x22=1
∵x₁+x₂=

3

k，x₁x₂=

5k-3

3

∴3k2-2×

5k-3

2

=1，
即3k²-5k+2=0
∴k=1或k=

2

3

．
當k=1時，原方程為x2-

3

x+1=0，△＜0，不合題意．
當k=

2

3

時，原方程為2x2-

4 3

3

x+

1

3

=0，x₁，x₂∈（0，1），符合題意．
∵an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，
∴an+1=2an-1(n∈N*)，an+1-1=2(an-1)(n∈N*)，
從而 {a_n-1}是等比數(shù)列，an=2n+1+1
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n=

4(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．

點評：本題是一元二次方程與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式，正確理解一元二次方程的根的判別式以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵．