Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、P、Q、M、N分別是棱AB、AD、DD₁、BB₁、A₁B₁、A₁D₁的中點，求證：
（Ⅰ）直線BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）直線AC₁⊥平面PQMN．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）要證直線BC₁∥平面EFPQ，只需證BC₁∥FP，且BC₁?平面EFPQ即可，由AD₁∥BC₁，F(xiàn)P∥AD₁即可證出；
（Ⅱ）要證直線AC₁⊥平面PQMN，只需證出MN⊥AC₁，且PN⊥AC₁即可．

解答： 證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接AD₁，
∵AD₁∥BC₁，且F、P分別是AD、DD₁的中點，
∴FP∥AD₁，∴BC₁∥FP，
又FP?平面EFPQ，且BC₁?平面EFPQ，
∴直線BC₁∥平面EFPQ；
（Ⅱ）如圖，
連接AC、BD，則AC⊥BD，∵CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴CC₁⊥BD；
又AC∩CC₁=C，∴BD⊥平面ACC₁，
又AC₁?平面ACC₁，∴BD⊥AC₁；
又∵M、N分別是A₁B₁、A₁D₁的中點，
∴MN∥BD，∴MN⊥AC₁；
同理可證PN⊥AC₁，
又PN∩MN=N，∴直線AC₁⊥平面PQMN．

點評：本題考查了證明空間中的線面平行與線面垂直的問題，解題時應明確空間中的線面平行、線面垂直的判定方法是什么，也考查了邏輯思維能力與空間想象能力，是基礎題．