Question

（2013•朝陽(yáng)區(qū)一模）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)字-1，0，1，2．稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)字后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響）．
（Ⅰ）在一次試驗(yàn)中，求卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率；
（Ⅱ）在四次試驗(yàn)中，求至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率；
（Ⅲ）在兩次試驗(yàn)中，記卡片上的數(shù)字分別為ξ，η，試求隨機(jī)變量X=ξ•η的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解：P（A）=

n(A)

n(Ω)

；
（Ⅱ）設(shè)事件B：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)，則P（B）=1-P（

.

B

），根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生k次的概率計(jì)算公式即可求得；
（Ⅲ）由題意可知ξ，η的可能取值為-1，0，1，2，從而隨機(jī)變量X的可能取值為-2，-1，0，1，2，4．根據(jù)古典概型該類計(jì)算公式求得X取各值時(shí)的概率即可寫(xiě)出分布列，利用期望公式即可求得期望值；

解答：解：（Ⅰ）設(shè)事件A：在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)，則P(A)=

2

4

=

1

2

．
答：在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是

1

2

．
（Ⅱ）設(shè)事件B：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)．
由（Ⅰ）可知在一次試驗(yàn)中，卡片上的數(shù)字為正數(shù)的概率是

1

2

．
所以P(B)=1-[

C

0 4

(

1

2

)0•(

1

2

)4+

C

1 4

1

2

•(

1

2

)3]=

11

16

．
答：在四次試驗(yàn)中，至少有兩次卡片上的數(shù)字都為正數(shù)的概率為

11

16

．
（Ⅲ）由題意可知，ξ，η的可能取值為-1，0，1，2，
所以隨機(jī)變量X的可能取值為-2，-1，0，1，2，4．
P(X=-2)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=-1)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=0)=

7

4×4

=

7

16

；P(X=1)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=2)=

2

4×4

=

1

8

；P(X=4)=

1

4×4

=

1

16

．
所以隨機(jī)變量X的分布列為

X	-2	-1	0	1	2	4
P	1 8	1 8	7 16	1 8	1 8	1 16

所以E(X)=-2×

1

8

-1×

1

8

+0×

7

16

+1×

1

8

+2×

1

8

+4×

1

16

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查古典概型概率計(jì)算公式，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的閱讀理解能力．