Question

已知函數(shù)g（x）=a-x²（

1

e

≤x≤e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與h（x）=2lnx的圖象上存在關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A、[1，

  1

  e2

  +2]
• B、[1，e²-2]
• C、[

  1

  e2

  +2，e²-2]
• D、[e²-2，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解，構(gòu)造函數(shù)f（x）=2lnx-x²，求出它的值域，得到-a的范圍即可．

解答： 解：由已知，得到方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解．
設(shè)f（x）=2lnx-x²，求導(dǎo)得：f′（x）=

2

x

-2x=

2(1-x)(1+x)

x

，
∵

1

e

≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的極值點(diǎn)，
∵f（

1

e

）=-2-

1

e2

，f（e）=2-e²，f（x）_極大值=f（1）=-1，且知f（e）＜f（

1

e

），
故方程-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解等價(jià)于2-e²≤-a≤-1．
從而a的取值范圍為[1，e²-2]．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了構(gòu)造函數(shù)法求方程的解及參數(shù)范圍；關(guān)鍵是將已知轉(zhuǎn)化為方程a-x²=-2lnx?-a=2lnx-x²在[

1

e

，e]上有解．